发布时间：2022-11-18 14:20:57
曲线与切线的动态问题，是高考数学的重点难点之一，近年来各种卷子考了无数。今天介绍一种利用方程的性质求解曲线动态切线类问题的简单方法。
关于x的整式方程a0x^n＋a1x^n-1…＋an=0（n∈N*）的根一般有n个。如果它的根多于n 个，必有a0=a1=…=an=0，这是整式方程的一个重要性质。
以下例题，就是利用整式方程的这一性质来进行求解的。
例1 对任意非零实数a，方程x＋y-2ax-4ay＋9a/2=0
所表示的一切圆都有公切线，试求公切线方程。
解: 把圆方程变形为标准方程（x-a）+（y-2a）=a/2
设，对任意非零实数 a，上式所表示的圆有公切线。
设此公切线的方程为Ax＋By＋C=0
由题意得，圆心（a，2a）到直线Ax＋By＋C=0的距离为
|Aa＋B·2a＋C|/√(A+B)=|a|/√2
化简整理得（A＋8AB＋7B））d＋4C（A＋2B）a＋2C=0
对于任意非零实数 a 恒成立，
所以A＋8AB＋7B=4C（A＋2B）=2C=0
解得C=0，A=-7B或C=0，A=-B
故所求公切线方程为y=7x和y=x
例2 椭圆系x＋4y-4mx-8my=0（m为非零参数）是否有公切线，
若有，求出它的方程。
解设公切线方程为 y=kx＋b，代人曲线系整理得
（1＋4k）x＋4（2kb-m-2mk）x＋4（b-2mb）=0
△=16[（2k＋1）m-2b（2k-1）m-b]=0
这是关于m 骨康蝮蛇木瓜胶囊治疗什么病的二次恒等式，因此有
（2k＋1）=-2b（2k-1）=-b=0，解得k=-1/2，b=0
因此曲线系的公切线为y=-x/2
同法可验证∶y=a 不是曲线系的公切线
上面的方程组由三个方程确定两个未知数k，b。
若方程有解，则曲线系有公切线；
若没有解，且y=a也不是曲线系的公切线，则曲线系没有公切线。
例3 不论 m为何实数，直线系y=mx＋m恒与以y轴为对称轴的一条抛物线相切，并求此抛物线方程。
解：由题意，设抛物线方程为y=ax＋c，因为m为任何实数，直线y=mx＋m 与其相切，所以方程a-mx＋c-m=0的判别式△=m2-4a（c-m）2=0，即（1＋4a）m-4ac=0对一切实数m均成立，因而
1+4a=4ac=0，解得a=-1/4，c=0，故所求抛物线方程为y=-x/4。
例4 若1/a＋1/b为定值，证明∶直线系x/a＋y/b=1与定圆相切。
分析：这里直线系由截距式给出，但参数a，b的变动将受关系式
1/a＋1/b为定值的约束，由此这个定圆必与此定值有关
解：设1/a＋1/b=1/k（k>0，k为定值），
又设圆心为（x0，y0），半径为r
由圆和直线相切的条件得
r=1/√（1/a+1/b）·|x0/a+y0/b-1|
化简得r=k|x0/a+y0/b-1|
因为x0，y0，r都是常数，所以x0=y0=0时，r=k因此所求的定圆为x+y=k。
说白了，就是这么一个不起眼骨康蝮蛇木瓜胶囊销售 的性质，却能帮助我们解棘手的复杂问题。所以学习数学要勤于积累，解题时别太拘泥于思维惯性，把格局放大些打开广阔的思路。可能你学过的一个知识点会在意想不到的骨康蝮蛇木瓜胶囊全国包邮地方，以意想不到的形式大展身手解决大问题呢。好了，今天的数学方法就先分享到这里。
